TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES
El postulado básico de la teoría cinética de los gases es que las direcciones y las
magnitudes de las velocidades de las moléculas están distribuidas al azar.
Cuando nos referimos a las velocidades de las moléculas, las medimos respecto del
centro de masas del sistema gaseoso, por tanto, la presión y la temperatura del gas no se
modifican si el recipiente que lo contiene está en movimiento.
Si suponemos que las velocidades en el sentido positivo del eje X (o del eje Y o Z) son
igualmente probables que en el sentido negativo, las velocidades medias a lo largo de los
ejes son cero, es decir.
<vx>=<vy>=<vz>=0.
Por otra parte, se cumplirá que las velocidades a lo largo del eje X no estarán
relacionadas con las velocidades a lo largo del eje Y o Z, por tanto,
<v2x>=<v2y>=<v2z>
Como el cuadrado del módulo de la velocidad es
v2=v2x+v2y+v2z
resulta que
< v2>=3<v2x>
Supongamos que el gas está encerrado en un recipiente, tal como se
muestra en la figura. El recipiente dispone de un émbolo móvil de área
A.
Para mantener fijo el émbolo es necesario ejercer una fuerza
F, normalmente a la superficie del
émbolo. El valor de la fuerza
F es igual al producto de la presión ejercida por
el gas por el área del émbolo.
F=PA

Las moléculas del gas chocan elásticamente con el émbolo, de modo que la componente
X de la velocidad cambia de sentido. Por tanto, el cambio en el momento lineal de cada
molécula es
Δ
p=2
mvx

Si el número total de moléculas que chocan con el émbolo en el intervalo de tiempo
comprendido entre
t y
t+Δ
t es
Nx, la variación de momento lineal
será 2
mvxNx.
Podemos calcular
Nx considerando que solamente la mitad de las
moléculas, en promedio, tienen el sentido de la velocidad hacia la parte positiva del eje
X, es decir, se dirigen hacia el émbolo.
Si suponemos que las moléculas que chocan con el émbolo tienen el mismo valor de la
componente X de la velocidad, cruzarán el área
A en el tiempo Δ
t todas las partículas contenidas en el volumen
AvxΔ
t. Si
n es el número de partículas por unidad de volumen
Nx valdrá
entonces
, nAvxΔ
t/2
.

La variación de momento lineal Δ
p en el intervalo de
tiempo comprendido entre
t y
t+Δ
t es
mvx nA
vxΔ
t.
La fuerza sobre el émbolo es el cociente entre el cambio de momento lineal y el
tiempo que tarda en efectuarse dicho cambio.
F=ΔpΔt=mvxnAvxΔtΔt=nA(mv2x)
y por tanto, la presión ejercida por el gas vale
P=n(mv2x)
Todas las moléculas no tienen el mismo valor
vx de la velocidad,
sino que la distribución de velocidades es tal que su valor medio cuadrático es
<v2x>
Por tanto, en la expresión de la presión
P, hemos de sustituir
v2x
por
<v2x>
.
P=nm<v2x>=23n⟨12mv2⟩
(1)
ya que
<v2x>=13<v2>
El último término que aparece en la fórmula, es el valor medio de la energía
cinética.
La ecuación de estado de un gas ideal relaciona las propiedades
macroscópicas, presión
P, el volumen
V y temperatura
T.
PV=μRT
Siendo
μ el número de moles.
El número
n de moléculas por unidad de volumen se obtiene dividiendo el
número total de moléculas
N entre el volumen del recipiente
V.
n=NV=μN0V
donde
N0 el número de Avogadro
Introduciendo
n en la expresión de la presión del gas (1), obtenemos
P=23NV⟨12mv2⟩=23μN0V⟨12mv2⟩
(2)
Comparando esta ecuación con la de estado de un gas ideal, se llega a la
definición cinética de temperatura
⟨12mv2⟩=32RN0T
El cociente entre las dos constantes
R y
N0 es otra constante
que designamos por
k, la constante de Boltzmann.
k=8.314 J/(K⋅mol)6.022 1023/mol=1.380 10-23 J/K
La temperatura absoluta definida, por ejemplo, para un termómetro de gas ideal es una
medida directa de la energía media de traslación de las moléculas del gas.
32kT=⟨12mv2⟩
(3)
La temperatura podría medirse en unidades de energía, el hecho de que se mida en
grados se debe a la definición tradicional de temperatura, que se estableció antes de
que se descubriese la relación antes mencionada.
Otra forma útil de la ecuación de los gases perfectos que se deriva de
(2) y (3) es
P·V=N·k·T
Donde
N es el número de moléculas contenidas en el recipiente de
volumen
V.
Como las moléculas de un gas ideal solamente tienen energía cinética, se
desprecia la energía potencial de interacción. La energía interna
U de un gas ideal es
N veces la energía cinética media de una molécula.
U=N⟨12mv2⟩=32NkT=32μRT